9.3a 薛定谔方程、德布罗意物质波与玻恩诠释

来源： Mappe S. 95 · ➕ 考纲

§9.3 引入了波函数 $\psi$，并指出 $|\psi {|}^2$ 是出现概率。还有两个问题悬而未决：$\psi$ 从何而来（由哪条方程决定？）以及为什么连物质也有波动性？这由德布罗意、薛定谔和玻恩来回答。

德布罗意物质波（de-Broglie-Welle，1924）

路易·德布罗意（Louis de Broglie）把波粒思想反转过来：既然光（波）也是粒子（光子），那么物质（粒子）也应是波。给每个动量为 $p=mv$ 的粒子配一列物质波（德布罗意波），其波长为：

$$\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}}}$$

符号	含义	单位
$\lambda$	德布罗意波长（de-Broglie-Wellenlänge）	m
$h$	普朗克常数 $=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$	Js
$m$	粒子质量	kg
$v$	粒子速度	m/s

✎ 为什么日常感觉不到？ 对宏观物体而言 $\lambda =h/(mv)$ 小得离谱（飞行的台球 $\lambda \sim {10}^{-34}$ m——无法测量）。只有在质量极小（电子）时 $\lambda$ 才大到足以显示衍射/干涉——这正是双缝中电子所发生的事。

戴维森-革末实验（Davisson-Germer，1927）——实验证明

戴维森与革末把电子射向一块镍晶体（Nickel-Kristall），观察到衍射图样——这本是只有波在光栅上才会产生的（规则的晶格起到衍射光栅的作用，参见光学）。由此德布罗意的物质波得到实验证明：电子（经典粒子！）显示出衍射，且测得的波长与 $\lambda =h/(mv)$ 吻合。电子衍射如今是电子显微镜的基础（$\lambda$ 短 → 分辨率高）。

薛定谔方程（Schrödinger-Gleichung，1926）

埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）于 1926 年提出量子力学的基本方程——它对波函数 $\psi$ 所起的作用，就如牛顿的 $F=ma$ 对经典轨道的作用：它决定 $\psi$ 如何随时间演化。其含时形式为：

$$\boxed{{\displaystyle i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi }}$$

符号	含义
$\psi$	波函数（复数；$\psi =\psi (\overrightarrow{r},t)$）
$\hat{H}$	哈密顿算符（Hamilton-Operator）（代表总能量：动能 + 势能）
$\hslash$	约化普朗克常数 $=h/2\pi$
$i$	虚数单位（$i^2=-1$）
$\frac{\partial \psi }{\partial t}$	$\psi$ 随时间的变化

✎ 这条方程直观上是什么意思？ 哈密顿算符 $\hat{H}$ 编码了作用在粒子上的一切力/能量（例如原子核的吸引）。方程随即确定性地预言 $\psi$ 如何随时间改变。要点：薛定谔给出的是 $\psi$ 的演化——而 $\psi$ 意味着什么（即 $|\psi {|}^2$ = 概率，§9.3）是一条独立的论断（玻恩，见下文）。把这条方程用于一个束缚电子求解，就能得出原子的离散能级（§9.2、§9.2a），完全不需要玻尔那条人为的轨道假设。

✎ 凭此方程，薛定谔获得 1933 年诺贝尔奖（与狄拉克 Dirac 共享）。

玻恩诠释（Born'sche Deutung，马克斯·玻恩 1926）

薛定谔本人起初以为 $\psi$ 是一列真实的波。马克斯·玻恩（Max Born）于 1926 年给出至今通行的概率诠释：$|\psi {|}^2$ 是概率密度（Wahrscheinlichkeitsdichte）——在某点附近小体积 $\mathrm{d}V$ 内找到粒子的概率为 $|\psi {|}^2\mathrm{d}V$。（这是 §9.3 中「$|\psi {|}^2$ = 出现概率」的数学精确形式。）

由此得出归一化条件（Normierung）：既然粒子必定在空间某处，那么对整个空间的总概率等于 $1$：

$$\boxed{{\displaystyle \int |\psi {|}^2\mathrm{d}V=1}}$$

✎ 归一化的意义：它是「100% 概率」的量子版本。它约束了薛定谔方程的允许解 $\psi$（只有可归一化的 $\psi$ 才有物理意义）——而正是这条边界条件，迫使束缚粒子出现离散能级（见 §9.3b 势阱）。凭此诠释，玻恩获得 1954 年诺贝尔奖。有了玻恩，量子力学的非决定论最终确立：$\psi$ 虽确定性地演化（薛定谔），测量结果却只能按概率预言——这是量子随机性（§9.8）的根源。